ตรีโกณมิติ

sine A = ด้านตรงข้ามมุม/ ด้านตรงข้ามฉาก
cosine A = ด้านชิดมุม/ ด้านตรงข้ามฉาก
tangent A = ด้านตรงข้ามมุม/ ด้านชิดมุม

เช่น
sin 45 = 1 ÷ √2
cos 45 = 1 ÷ √2
tan 45 = 1 ÷ 1

ดูดีๆ sin^2A+ cos^2A = 1

เพราะว่า ถ้า c^2=a^2+b^2 ตามกฏพิธากอรัส

เมื่อกำหนดให้ c คือด้านข้ามฉาก a คือด้านข้ามมุม และ b คือด้านชิดมุม ของมุม A

1 = a^2÷ c^2 + b^2÷c^2

1= sin^2A+cos^2A นั่นเอง

การหาพจน์ต่างๆ ของลำดับเรขาคณิต

การหาพจน์ต่างๆของลำดับเรขาคณิต
ใช้แผนภาพการทำซ้ำดังแผนภาพที่แสดงอยู่ข้างล่างเพื่อช่วยให้นักเรียนมองเห็นสิ่งที่อยู่ใต้กระบวนการทำซ้ำที่ใช้ในการสร้างจำนวนอย่างต่อเนื่องใน ลำดับเรขาคณิต   ลูกศรแสดงวงจรที่ทำให้เกิดการเวียนทำกระบวนการเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก

ถ้าให้   a1,   a2,   a3,   …,   an,   ...              เป็นลำดับเรขาคณิต 
โดยที่    a1  แทนพจน์แรก   และ r  เป็นอัตราส่วนร่วม   ซึ่งไม่เท่ากับ 0 
จะเขียนพจน์อื่นๆของลำดับเรขาคณิตในรูปของ  a1  และ  r  ได้ดังนี้
                                a2         =              a1r
                                a3         =             a2 r              =             (a1r)r      =      a1r2
                                a4         =             a3 r              =             (a1r2)r    =      a1r3
                                                                                                                                                   
                               an            =          a1rn-1
 


 พจน์ทั่วไป หรือพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต  คือ
                                             
                              เมื่อ  an คือ พจน์ที่ n และ  a1  คือ พจน์แรก
                   r    คือ อัตราส่วนร่วม เท่ากับ พจน์ที่ n + 1 หารด้วยพจน์ที่ n

   



ผลยวกของ sn ของเรขาคณิต คือ

sn = a1.(r^n -1)/(r-1)

รูปแบบทั่วไปเรขาคณิต

      รูปทั่วไปของลำดับเรขาคณิต





                        ใช้แผนภาพการทำซ้ำดังแผนภาพที่แสดงอยู่ข้างล่างเพื่อช่วยให้นักเรียนมองเห็นสิ่งที่อยู่ใต้กระบวนการทำซ้ำที่ใช้ในการสร้างจำนวนอย่างต่อเนื่องในลำดับเรขาคณิต   ลูกศรแสดงวงจรที่ทำให้เกิดการเวียนทำกระบวนการเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก
                                                                         
      ดังนั้น  รูปทั่วไปของลำดับเรขาคณิต   คือ  a1,    a1r,    a1r2,    a1r3,    …,    a1rn-1

ลำดับเรขาคณิต

บทนิยาม       ลำดับเรขาคณิต  คือ  ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n  เป็นค่าคงที่ทุกค่าของจำนวนนับ n  และเรียกค่าคงที่นี้ว่า  “ อัตราส่วนร่วม ” 
                                      ถ้า  a1,    a2,    a3,    …,    an,    an+1   เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้   
                                                                           เท่ากับค่าคงที่  เรียกค่าคงที่นี้ว่า  “ อัตราส่วนร่วม ” (Common  ratio)    เขียนแทนด้วย    r    
ตัวอย่าง    ลำดับเรขาคณิต
                  

ตัวอย่างผลบวกอนุกรมเลขคณิต

ตัวอย่างที่ 2   จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต   1  +  5  +  9  +   …  +  117

        โจทย์กำหนดอนุกรมเลขคณิต  1 +  5  +  9  +  …  + 117
   แสดงว่า   a1  =  1,  d  =  5 – 1 =  4,  an  =  117  ถาม  Sn
   ต้องใช้สูตร  an  =    a1  +  (n –1)d    หา  n  ก่อน
  
 แล้วจึงหา  Sn   จากสูตร                                                                                      

        แทนค่า    a1  =  1, d  =  4,  an  =  117 
   จากสูตร     an           =            a1  +  (n –1)d
                       117         =             1  +  (n –1)(4)
                        n             =             30
          ดังนั้น    อนุกรมนี้มี  30    พจน์
 
  จากสูตร         Sn           =           ()         =      1,770
            
              ผลบวกของอนุกรมนี้ คือ    1,770

อนุกรมเลขคณิต การหาผลบวก n พจน์แรก

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ให้  Sn  เป็นผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
                        ที่มี   a1  เป็นพจน์แรก และ  d    เป็นผลต่างร่วม   จะได้
                               Sn  =  a1  +   (a1 + d)  +  … +  [a1+(n – 2)d]  +   [a1+(n –1)d]           -----(1)
                        หรือ Sn=  [a1 + (n –1)d]  +  [a1 + (n – 2)d]  + …  +  (a1 + d)    +      a1    -----(2)
                        สมการ (1)+(2)  จะได้
  2Sn    =    [2a1 + (n –1)d]  +  [2a1 + (n –1)d] + … + [2a1 +  (n –1)d]  (n  พจน์ )
  2Sn    =    n[2a1 +  (n –1)d]
          

เมื่อ                 Sn      แทนผลบวก  n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
                        a1      แทนพจน์ที่ 1,  d แทนผลต่างร่วม,  n แทนจำนวนพจน์  และ an แทนพจน์ที่ n

อนุกรมเลขคณิต

บทนิยาม   อนุกรมเลขคณิตอนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
   เมื่อ      a1,  a1 + d,   a1 + 2d,   …,    a1 + (n – 1)d              เป็นลำดับเลขคณิต
   จะได้   a1  +   (a1 + d)  +  (a1 + 2d)   +  …  +   (a1 + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต
 ซึ่งมี   a1  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต

จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n  พจน์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an               ว่า  อนุกรมเลขคณิต
และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

การหาหรม ของเศษส่วน

ห.ร.ม. ของจำนวนใดคือตัวหารที่มีค่ามากที่สุดที่ไปหารจำนวนเหล่านั้นได้ลงตัว หมายความว่าหารแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม ในกรณีของเศษส่วน ห.ร.ม. ของเศษส่วนใดก็คือตัวหารที่มีค่ามากที่สุดที่ไปหารเศษส่วนเหล่านั้นแล้วได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นจำนวนเต็มนั่นเอง และเนื่องจากในการหารด้วยเศษส่วน วิธีการคือเอาตัวหารมากลับเศษเป็นส่วนแล้วคูณกับตัวตั้ง ให้จินตนาการว่า ตัวหารถูกกลับเศษเป็นส่วน ! เพราะฉะนั้นส่วนของตัวหารจะถูกกลับขึ้นมาเป็นเศษ แล้วคูณกับเศษส่วนที่เป็นตัวตั้ง ถ้าต้องการให้คูณแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม ก็ต้องให้จำนวนที่เป็นส่วนของตัวตั้งทุกจำนวนไปหารจำนวน ที่ถูกกลับขึ้นมาเป็นเศษได้ลงตัว ดังนั้น ในการหา ห.ร.ม. ของเศษส่วน จึงต้องหา ห.ร.ม. ของเศษ และหา ค.ร.น. ของส่วน ทดลองและตรวจสอบได้ด้วยตัวเอง ไม่จำเป็นต้องอ้างตำราเล่มไหน ตำราทุกเล่มมนุษย์เป็นผู้เขียนขึ้น และเราก็เป็นมนุษย์คนหนึ่งที่สามารถสร้างความรู้บางอย่างด้วยตนเองได้ ตัวอย่างเช่น ห.ร.ม. ของ 2/3, 4/5, 6/7 คือ 2/105 เพราะ 2 เป็น ห.ร.ม. ของ 2, 4, 6 105 เป็น ค.ร.น. ของ 3, 5, 7 เมื่อนำตัวหารไปกลับเศษเป็นส่วน แล้วคูณกับตัวตั้ง จะหารกันได้ลงตัว ดังนี้

การหา หรม ของเศษส่วนทำได้โดย

1. หา หรม ของเศษ ของเศษส่วนทั้งหมด(ที่โจทย์กำหนดมาน่ะ)

2. หา ครน ของส่วน ของเศษส่วนทั้งหมด(ที่โจทย์กำหนดมาน่ะ)

3. ก็เอามาซ้อนกัน จบ เช่น

2/5 4/15 แล้วก็ 6/15

ก็หา หรม ของ 2,4 แล้วก็ 6 = 2

แล้วก็มาหา ครน ของ 5,15,15 = 15

ก็ได้ 2/15

การหา ครน มันก็กลับกันคือหา ครน ของเศษ แล้วก็ หรม ของส่วนค่ะ

ผลคูณของจำนวนนับใดๆ 2 จำนวน มีค่าเท่ากับ ผลคูณของ หรม กับ ครน ของสองจำนวนนั้น

หรม ของ 12, 16 คือ 4
ครน ของ 12,16 คือ 48

ผลคูณของ 12x16 = 4x48

การหา หรม ของเลขทศนิยม

การหา หรม หรือ ครน ของทศนิยมนั้น คล้ายกับ การหาหรม ครน ของจำนวนเต็มเลยครับ

เพียงแต่เลื่อนจุดทศนิยม ให้ทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม พอหาเสร็จก็เลื่อนจุดทศนิยมกลับ

เช่น หา หรม และ ครน ของ 0.6 กับ 0.9

1.เลื่อนจุดทศนิยมให้เป็นจำนวนเต็มทุกจำนวน(ต้องเลื่อนเท่ากันด้วย)ได้ 6 กับ 9

2.หา หรม ครน ให้เรียบร้อยซะ (หรม=3 ครน=18)

3.เลื่อนจุดทศนิยนกลับ(ตอนแรก เราเลื่อนไป 1 ตำแหน่ง ก็เลื่อนกลับ 1 ตำแหน่ง ได้

หรม=0.3 ครน=1.8)

สรุป หรม ของ 0.6 กับ 0.9 = 0.3 ครน = 1.8

cramer's Rule

ที่น่าสนใจก็คือว่า “วิธีเริ่ดๆ” อันนี้ได้ใช้ (หรือที่เขาเรียกกันตามสากล) “กฏของเครเมอร์” (Cramer’s Rule) ซึ่งเป็นหลักการทางพีชคณิตเชิงเส้น

กฏนี้ไม่ได้ใช้กันบ่อยซักเท่าไหร่ทางคณิตศาสตร์ เพราะมีการคำนวณหลายขั้นตอนเกินไป โดยเฉพาะทว่าเราจะเขียนโปรแกรมแก้ระบบสมการ แต่สำหรับการแก้ระบบสมการเพียง 2 ตัวแปรด้วยวิธีการนี้เนี่ยไม่หนักเท่าไหร่ (แถมยังง่ายกว่าการแก้ด้วย “วิธีธรรมดา”) อย่างที่เห็นๆกันจากตัวอย่าง ถ้าเราจะแก้ระบบสมการ 3 ตัวแปรคงใช้เวลานิดหน่อย (สู้ใช้หลักการอื่นๆทางพีชคณิตคงจะดีกว่า) แล้วถ้าเป็นระบบสมการ 4 ตัวแปรขึ้นไปละก็ ฝันไปเลยครับ

จะสรุปวิธีการแก้ระบบสมการ 2 ตัวแปรของ a๐MaM กันได้โดยการตั้งค่าสัมประสิทธิเป็น a b c ... ลฯล ได้ว่า

ax + by = e
cx + dy = f

เพราะฉะนั้น สูตรที่เราสรุปกันได้ก็คือ

x = (ed - bf) / (ad - bc) <---สัญลักษ์ / คือหาร อ่านว่า (ed - bf) หาร (ad - bc)
y = (af - ec) / (ad - bc)


ตัวอย่างของ a๐MaM ครับ
5x + 3y + 4 = 0
3x + 2y + 7 = 0

ย้าย 4 กับ 7 ไปอีกข้าง
5x + 3y = (-4)
3x + 2y = (-7)

ดังนั้น ในตัวอย่างนี้
a = 5, b = 3, e = (-4)
c = 3, d = 2, f = (-7)

ใส่เข้าสูตรที่เราสรุปกันมาได้
x = [(-4)*2 - 3*(-7)] / [5*2 - 3*3] <--- สัญลักษ์ * คือ “คูณ”
y = [5*(-7) - (-4)*3] / [5*2 - 3*3]

x = [-8 - (-21)] / (10 - 9)
y = [-35 - (-12)] / (10 - 9)

คำตอบ
x = 13 หาร 1 = 13
y = -23 หาร 1 = -23





ถ้าใครสนใจ Cramer’s Rule จริงๆก็ลองดูตามนี้ก็ได้นะครับ
อย่างนึงก็คือ ต้องมีความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับเมทริกซ์ (Matrix)
และการหาดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) ของเมทริกซ์

-----------------------------------------------------------------------------

พิจารณาระบบสมการดังต่อไปนี้




เราสามารถแปลงระบบสมการให้อยู่ในรูปแบบเมทริกซ์ได้



ดังนั้น เราสามารถหาค่า x และ y โดยใช้ Cramer’s Rule ที่กล่าวไว้ว่า



และ



อ้างอิง: http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule

equation solving

การหาสมการเส้นตรงวิธิลัด "จะคิดยาวๆทะม๊าย แบบที่จารทั้งหลายสอนเราๆในห้องน่ะ"

ปกตินะเคอะ การหาสมการเส้นตรงแบบอืดๆ
1.จุดผ่าน(x,y)
2. ความชัน เป็น m
แล้วแทนค่าสูตร Y-y = m (X-x)

แต่เรามี T E C H N I C ขั้นสุดยอด(จิงป่าวไม่รู้)
ลองสังเกดดูดี๊ เราหาความชันจาก m = a ส่วน b เมื่อ ax-by+c =0 ชิมิล่า

ก้แทนค่าไปเลยเสะ แบบนี้ไง ความชัน = 5ส่วน3 ดังนั้นสมการคือ 5x-3y+c=0 แค่นี้ล่ะ จบ!!!

เปรียบเทียบนะฮ๊า

จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่าน (2,1) และมีความชัน 5ส่วน3

วิธีอืดๆ ให้(2,1) = (x,y) 5/3 = m สูตร Y-y = m(X-x) Y-1 = 5/3(X-2) 3Y-3 = 5X-10 7 = 5x-3y 5X-3Y = 0 ตอบ

วิธีเริ่ดๆ จาก ความชัน= 5/3 ได้สมการ 5x-3y+c = 0 แทนจุด (2,1) ลงสมการหา c ได้ c = -7 ตอบ 5x-3y-7=0

มันต่างกันเย๊อะค่ะ

ลองดูตัวอย่างนะเคอะ
จงหาสมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (-2,-1)และขนานกับ x-2y+3 = 0
วิธีทำ ไม่ต้องไปหาหร้อก ค่าความชันน่ะ ต้องแบบนี้
ขนาน x-2y+3 = 0 แสดงว่ารูปแบบต้องเหมือนกัน
คือ x-2y+c = 0 แน่นอน!!!
แทนจุด (-2,-1) ลงได้ c= 0
ตอบ x-2y=0 จบแล้วครับคุ๊น



การหาจุดตัดสมการเล้นตรงวิธีเริ่ดๆ

เรามาดูวิธีธรรมด๊าธรรมดากันก่อนนะค๊า

จงหาจุดตัดสมการ 5x+3y+4 = 0 และ 3x+2y+7 = 0

วิธีทำ ให้ 5x+3y+4 = 0 ...........(1)
3x+2y+7 = 0 ...........(2)
(1)x3ตลอด 15x+9y+12 = 0 ..........(3)
(2)x5 ตลอด 15x+10y+35 = 0 .........(4)
(4)-(3) 10y-9y+35-12 = 0
y+23 = 0
y = -23 แทนลงใน (2)
ได้ 3x+2(-23)+7 = 0
x = 13
ดังนั้นจุดตัดเส้นตรง คือ (13,-23) ยุ่งยากสุดๆ >[]<


วิธีเริ่ดของเราาาา

5x+3y+4 = 0
3x+2y+7 = 0
คูณทะแยงนะจ๊ะ มันลากให้ดูไม่ได้เดี๋ยวแยกออกมาล่ะกัน ถือว่าเป็นกระดาษทด -0-
*เอาแต่ตัวเลขคูณเน้อ* ทะแยงลง (5x)(2y) = 10
.............................." (3y)(7) = 21
.............................ทะแยงขึ้น (3x)(3y) = 9
............................." (2y)(4) = 8 **********อันนี้จิงๆเขียนเป็นคูณทะแยงใส่สมการอันบนเลยนะ
หาค่า x จาก x =21-8 = 13 (เฉียงลง - เฉียงขึ้น ) ลองเขียนดูจะเห็นภาพนะจ๊ะ
10-9
แทน x = 13 ลงสมการไหนก็ได้ y = -23

http://parp-rider.nsguru.com/forum-f3/topic-t54.htm